La disuguaglianza di Schwarz, anche conosciuta come disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, è un risultato fondamentale della teoria degli spazi vettoriali dotati di prodotto interno. Prende il nome dai matematici Augustin-Louis Cauchy e Hermann Amandus Schwarz, che hanno contribuito indipendentemente a sviluppare questa disuguaglianza.
La disuguaglianza afferma che per due vettori v e w in uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno, vale la seguente relazione:
|(v, w)| ≤ ||v|| * ||w||
Dove (v, w) rappresenta il prodotto interno tra v e w e ||v|| e ||w|| rappresentano le norme o le lunghezze dei vettori.
In parole semplici, la disuguaglianza di Schwarz stabilisce che il valore assoluto del prodotto interno tra due vettori è minore o uguale al prodotto delle loro norme. In altre parole, il coseno dell'angolo tra i vettori è sempre compreso tra -1 e 1 inclusi.
Questa disuguaglianza è estremamente utile in diverse aree della matematica, come l'analisi funzionale, l'ottimizzazione, la teoria della probabilità e l'algebra lineare. Trova applicazione anche in ambiti come la statistica, la geometria e la fisica teorica. La disuguaglianza di Schwarz è una delle basi per la definizione del prodotto interno e delle norme in spazi vettoriali e per dimostrare importanti risultati come l'ineguaglianza triangolare.
In sintesi, la disuguaglianza di Schwarz afferma che c'è una relazione di maggiorezza tra il prodotto interno di due vettori e il prodotto delle loro norme.
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