Cos'è disuguaglianza di schwarz?

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è una disuguaglianza fondamentale che si applica in molte aree della matematica, inclusa l'algebra lineare, l'analisi e la probabilità. Fornisce un limite superiore per il prodotto scalare di due vettori in termini delle loro norme.

Enunciato:

Per due vettori qualsiasi u e v in uno spazio vettoriale con prodotto interno, la seguente disuguaglianza è vera:

| <u, v> | ≤ ||u|| ||v||

dove:

• <u, v> rappresenta il prodotto%20interno di u e v.
• ||u|| e ||v|| rappresentano le norme (o lunghezze) di u e v, rispettivamente, indotte dal prodotto interno. La norma è definita come ||u|| = √<u, u>.

Forme diverse:

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz può essere espressa in diverse forme a seconda del contesto.

• Forma scalare (spazi euclidei): In Rⁿ con il prodotto scalare standard (prodotto punto), la disuguaglianza diventa:

  | Σ_i=1ⁿ u_iv_i | ≤ √(Σ_i=1ⁿ u_i²) √(Σ_i=1ⁿ v_i²)

• Spazi L² (funzioni): Per funzioni f(x) e g(x) in uno spazio L², la disuguaglianza assume la forma:

  | ∫ f(x)g(x) dx | ≤ √(∫ f(x)² dx) √(∫ g(x)² dx)

Condizione di Uguaglianza:

L'uguaglianza nella disuguaglianza di Cauchy-Schwarz vale se e solo se i vettori u e v sono linearmente dipendenti, cioè, uno è un multiplo scalare dell'altro. In altre parole, esiste uno scalare c tale che u = cv oppure v = cu.

Applicazioni:

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ha numerose applicazioni in vari campi:

• Geometria: Dimostra che il coseno dell'angolo tra due vettori è sempre compreso tra -1 e 1.
• Analisi: Utile per provare la convergenza di integrali e serie.
• Statistica e Probabilità: Utilizzata per dimostrare disuguaglianze come la disuguaglianza di Chebyshev e per derivare coefficienti di correlazione.
• Algebra lineare: Fondamentale nello studio degli spazi vettoriali e degli operatori lineari.

Dimostrazione (una possibile):

Consideriamo la funzione quadratica p(t) = <u + tv, u + tv>. Poiché il prodotto interno è non negativo, p(t) ≥ 0 per ogni t. Espandendo:

p(t) = <u, u> + 2t<u, v> + t²<v, v> = ||u||² + 2t<u, v> + t²||v||²

Questo è un polinomio quadratico in t. Poiché è non negativo, il suo discriminante deve essere minore o uguale a zero:

(2<u, v>)² - 4||u||²||v||² ≤ 0

4<u, v>² ≤ 4||u||²||v||²

<u, v>² ≤ ||u||²||v||²

Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati si ottiene la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

| <u, v> | ≤ ||u|| ||v||